四元数-白红宇

四元数

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发布时间：2019-06-08

本文共 3175 字，大约阅读时间需要 10 分钟。

最近做camera 的 AI，需要对四元数，欧拉角等要有一定的了解，把前面学习的整理了一下：

1。四元数的优势：三维空间的旋转完全可以由4元数来胜任。传统意义上需要3×3矩阵来进行向量的旋转（4x4矩阵的第四列表示平移）。所以四元数更节省空间，运算速度更快。既然四元数能方便的表示3D旋转，那么对他们进行插值就能产生平滑的旋转效果。

劣势可能是比较抽象，不大好理解。而且据说顶点变换还是矩阵效率更高（涉及到平移）。

2。四元数的物理意义：

Q( x, y, z, w)来表示向量绕轴 A（ax, ay,az) 旋转alpha

则： x ＝ sin(alpha/2)*ax;

y = sin(alpha/2)*ay;

z = sin(alpha/2)*az;

w = cos(alpha/2);

3。四元素的数学意义：

我们知道复数的表示为 a+bi; 其中i*i = -1;

四元数 q = w + xi + yi +zi;

复数的运算法则为四元数的数学运算提供了规则基础。比如说乘法，加法等。

4。四元数和矩阵间的转换：

QX =0; QY=1;QZ=2;QW=3;

void quat_ConvertFromMatrix(float *pQuat, const float mat[4][4])

{

float diag, s;

int i, j, k;

diag = mat[0][0] + mat[1][1] + mat[2][2];

if(diag < -0.999f )

{

i = QX;

if( mat[QY][QY] > mat[QX][QX] )

i = QY;

if( mat[QZ][QZ] > mat[i][i] )

i = QZ;

j = g_QNext[i];

k = g_QNext[j];

s = ltsqrtf( mat[i][i] - ( mat[j][j] + mat[k][k] ) + 1.0f );

pQuat[i] = s * 0.5f;

s = 0.5f / s;

pQuat[QW] = ( mat[k][j] - mat[j][k] ) * s;

pQuat[j] = ( mat[j][i] + mat[i][j] ) * s;

pQuat[k] = ( mat[k][i] + mat[i][k] ) * s;

return;

}

s = ltsqrtf( diag + 1.0f );

pQuat[3] = s * 0.5f;

s = 0.5f / s;

pQuat[0] = (mat[2][1] - mat[1][2]) * s;

pQuat[1] = (mat[0][2] - mat[2][0]) * s;

pQuat[2] = (mat[1][0] - mat[0][1]) * s;

}

void quat_ConvertToMatrix(const float *pQuat, float mat[4][4])

{

float s, xs, ys, zs, wx, wy, wz, xx, xy, xz, yy, yz, zz;

s = 2.0f / ((pQuat[0] * pQuat[0]) + (pQuat[1] * pQuat[1]) +

(pQuat[2] * pQuat[2]) + (pQuat[3] * pQuat[3]));

xs = pQuat[0] * s;

ys = pQuat[1] * s;

zs = pQuat[2] * s;

wx = pQuat[3] * xs;

wy = pQuat[3] * ys;

wz = pQuat[3] * zs;

xx = pQuat[0] * xs;

xy = pQuat[0] * ys;

xz = pQuat[0] * zs;

yy = pQuat[1] * ys;

yz = pQuat[1] * zs;

zz = pQuat[2] * zs;

mat[0][0] = 1.0f - (yy + zz);

mat[0][1] = xy - wz;

mat[0][2] = xz + wy;

mat[1][0] = xy + wz;

mat[1][1] = 1.0f - (xx + zz);

mat[1][2] = yz - wx;

mat[2][0] = xz - wy;

mat[2][1] = yz + wx;

mat[2][2] = 1.0f - (xx + yy);

mat[0][3] = mat[1][3] = mat[2][3] = mat[3][0] = mat[3][1] = mat[3][2] = 0.0f;

mat[3][3] = 1.0f;

}

具体推倒过程可以参考相关文献。

5。四元数插值：有很多插值方法，比如线性，球形，样条插值等；

lerp (t;,q0,q1) = (1-t)q0 + tq1 ;//快速，但动画不平滑，需要归一化 / ||(1-t)q0 + tq1||;

slerp( t;, q0,q1) = [q0 *sin(thata(1-thata)) + q1sin(thata*t)] / sin(thata); //平滑，归一化；

thata　为q0 q1夹角。q0 dot q1 ＝ cos(thata);